2.2.1 求解方程

2.2.2 滚珠公转速度分析

要确定滚珠的离心力及陀螺力矩大小，首先需要对 滚珠丝杠副工作时的一般运动关系进行分析，确定滚珠 自转、公转速度与丝杠转速之间的关系。通常情况下， 三者与滚珠接触角之间存在耦合关系。如图 3b 所示，滚 珠丝杠副在工作时滚珠会同时绕着自身轴线自转和丝杠 轴线公转：轴 1 为滚珠公转轴线；轴 2 为滚珠自转轴线。

3 非线性方程求解

式（23）、式（24）组成的方程组，为具有很高的非线性程度的非线性方程组，必须通过一定的数值解法对其进行求解[20-24]。本文采用 Newton-Raphson 迭代法进行求解，其求解流程如图 4 所示。

4 案例及讨论

根据所建立的动态接触角求解模型，对不同结构参数的滚珠丝杠副模型进行求解。首先分析了工作运行中负载和转速对接触角的影响，接着分别在 Fa=1 000 N、ω=2 000 r/min，Fa=1 000 N、ω=4 000 r/min 和 Fa=1 500 N、ω=4 000 r/min 的工况，分析了包括间隙、公称直径、螺旋升角、滚珠直径及滚珠数量在内的结构参数对滚珠丝杠副接触角的影响情况。滚珠丝杆副相关结构参数如下：原始接触角为 45°，丝杠滚道曲率半径系数 fi与螺母滚道曲率半径系数 fo均为 0.542。

4.1 工况对接触角的影响

当滚珠丝杠副螺旋升角λ=5.65°，滚珠直径 Dw=6.33 mm，公称直径 dm=41.4 mm，滚珠数量 N=45 个，间隙量 Pd=0 时，工况对滚珠丝杠副接触角影响如图 5 所示。工作过程中的滚珠丝杠副，滚珠与丝杠滚道接触角（内接触角）αi 始终比滚珠与螺母滚道接触角（外接触角）αo 大。转速对滚珠丝杠副接触角影响如图 5a 所示。随着丝杠转速 ω 升高，αi 增大、αo 减小。滚珠丝杠副运转时，外滚道给滚珠提供一定的径向力以克服运行时离心力。随着转速 ω 上升，滚珠的离心力越大，αi和 αo差 值也随之增大。载荷对滚珠丝杠副接触角影响如图 5b 所示。随着工作负载 Fa 增大，αo 呈上升趋势，αi 随转速不同而不同， 有单向递增和先减小后增大 2 种情况，从图 5c、5d 可以更明显的看出。转速为 1 000、2 000 r/min 时，αi随着载 荷增大而增大；而在转速为 4 000 r/min 时，αi随着载荷增大先减小后增大。低速时，负载 Fa增大导致两侧滚道变形量增加，因而 αi、αo 也变大；而在高速、低载时，离心力导致外滚道接触载荷径向分量较大，需要内滚道提供接触负荷来平衡，因而转速 4 000 r/min 时，αi表现为先减小后增大。

图 5a 是给定具体结构参数下的滚珠丝杠副转速对接 触角的影响结果，与简化了结构参数进行建模计算的文 献[9]和文献[12]的结果进行对比，发现其变化趋势一致： 随着转速上升，内接触角增大、外接触角减小；大致呈 现为三次函数的关系。

4.2 结构参数对接触角的影响

本部分讨论间隙量 Pd、公称直径 dm、滚珠直径 Dw、 螺旋升角λ、滚珠数量 N 等结构参数对接触角的影响。

当 Dw=6.33 mm、λ=5.65°、dm=41.4 mm、N=45 时， 间隙量对滚珠丝杠副接触角影响如图 6a 所示。随着滚珠 与滚道间间隙量的增大，αi、αo以几乎相同的速率线性增 长，当间隙量每增大 0.1 mm 时，内、外接触角增大约为 7°。造成内外接触角同时增大的原因是因为间隙的存在会 导致滚珠与滚道间的初始接触角增大，进而致使最终内 外接触角都增大。 当 Dw=6.33 mm、λ=5.65°、N=45，Pd=0 时，公称直 径对滚珠丝杠副接触角影响如图 6b 所示。同一工况下运 行的公称直径越大的滚珠丝杠副，αi越大、αo越小，其变 化呈近似线性关系，两者变化速率几乎相等。公称直径 越大的滚珠丝杠副在运转时滚珠所需离心力也越大，径 向方向需要外滚道提供更大接触负荷。 当λ=5.65°、dm=41.4 mm、N=45，Pd=0 时，滚珠直径 对滚珠丝杠副接触角影响如图 6c 所示。Dw 增大时，αo 整体呈下降趋势，而 αi 先减小后增大，且在 Dw≈5 mm 时处于最低点。当直径约小于 5 mm 时，丝杠侧接触角随 滚珠直径的增大而减小，当直径约大于 5 mm 时，丝杠侧 接触角随滚珠直径增大而增大。

当 Dw=6.33 mm、dm=41.4 mm、N=45、Pd=0 时，螺 旋升角对滚珠丝杠副接触角影响如图 6d 所示。同一工况 下滚珠丝杠副，螺旋升角大的 αi 呈现出一定的线性下降 趋势，αo 呈现出线性上升趋势，但其变化量很小，当螺 旋升角每增大 1°，内、外接触角变化量均不到 0.006°。

当 Dw=6.33 mm、λ=5.65°、dm=41.4 mm、Pd=0 时， 滚珠数量对滚珠丝杠副接触角影响如图 6e 所示。滚珠数 量增加时，αo呈下降趋势，而 αi的变化趋势跟工况有关， 有单向递减和先减小后增大 2 种情况。具体而言，根据 图 6e 所示，在 Fa=1 000 N、ω=2 000 r/min 时，αi随着滚 珠数量增加而减小；而在 Fa=1 000 N、ω=4 000 r/min 和 Fa=1 500 N、ω=4 000 r/min 时，随着滚珠数增加，αi先减 小后增大。

5 结 论

基于 Hertz 理论和滚道控制理论，建立了面向结构参 数的滚珠丝杠副动态接触角模型，通过实例分析，研究 了滚珠丝杠副结构参数对接触角的影响。结果表明：

1）工作时，丝杠侧的内接触角始终大于螺母侧外接 触角。丝杠转速增加，内接触角随之增大，而外接触角 则减小；低速时，内、外接触角随负载增加同时增大， 但差值减小；在高速、低载工况下，内接触角会随负载 增大先减小后增大，而外接触角则单向增大，内外接触 角差值依然减小。

2）内、外接触角随间隙增大而增大：间隙量增大 0.1 mm，内、外接触角增大约 7°；外接触角随公称直径 增大而减小，而内接触角则反之；滚珠直径和滚珠数量 对接触角的影响规律相似，外接触角随着滚珠直径或滚 珠数量的增加而减小，而内接触角则随之先减小后增大； 螺旋升角变化对接触角影响很小，螺旋升角增大 1°，内、 外接触角变化幅值均不到 0.006°。