滚珠丝杠副由于定位精度和传动效率高、发热少、使用寿命长等优点，已成为工业、农业、民用领域研究及生产自动化装置的重要部件，也是高档数控机床等高精度产品的核心组成部件。接触角作为滚珠丝杠副重要的结构参数，对滚珠丝副的承载能力、传动效率及定位精度等起着决定性作用。

国内外滚珠丝杠副接触角研究集中在接触角与载荷、转速的关系方面，主要体现在负载、接触、变形等。Mei 等对滚珠丝杠副负载分布与接触角之间的关系进行了研究，发现接触角的变化会造成滚珠接触负载的改变；Lin 等建立了滚珠丝杠副动力学模型，对工作滚珠与丝杠和螺母滚道接触状态进行了研究，指出接触角的大小会随转速、负载等工况的不同而发生变化；相关学者基于 Lin 的理论基础，通过建立滚珠丝杠副动力学模型得到了接触角与载荷、接触变形之间的影响关系；

1 滚珠丝杠副动态接触角建模

滚珠丝杠副几何模型如图 1a 所示。滚珠在滚道中以一定的角度与丝杠和螺母两侧滚道进行接触，期间接触角大小会随着滚珠丝杠副各结构参数和工况的不同而发生变化。为了使问题得到简化，准确的构造求解模型，本文做出以下假设：1）滚珠杆副中各滚珠受力均匀；2）假设滚珠不出现打滑现象；3）滚珠与滚道之间为点接触。

1.1 滚珠丝杠副动力学方程

滚珠丝杠副工作时滚珠受载荷情况如图 1b 所示。在载荷 Fa 作用下，滚珠受到丝杠及螺母滚道对其的接触负荷 Qs、Qn；滚珠自转时由于自转轴线与丝杠轴线不平行而产生的陀螺力矩 Mg；滚珠公转时产生的离心力 Fc。

工作运转的滚珠丝杠副作为一个整体，作用于螺母上的负载应该平衡，由螺母受力平衡可知

1.2 滚珠丝杠副几何变形方程

滚珠丝杠副在工作过程主要为轴向受载，综合考虑间隙 Pd及实际接触角变化的影响，其变形情况如图 2 所示。螺母滚道中心 On固定在此空间，受载前，滚珠与滚道两侧接触角均为 α0；受载后，由于工作负载和离心力的共同作用，滚珠中心由 O’移至O，滚珠与螺母滚道和丝杠滚道接触角变为 αo，αi。

根据 Hertz 接触理论[15]：两相物体受压接触后产生的应变分布和局部应力存在一定的关系，得滚珠与滚道的接触载荷及其变形关系为

式（11）－式（12）共包含基本非线性方程 2 个、基本未知量 αo、αi、ko、ki、Fc、Mg 6 个，方程数远小于未知变量数，因此还必须通过建立辅助方程补充方程或消去未知量简化方程的方法使原方程组基本方程数和基本未知量相等，才能使方程组得以求解。

2 面向结构参数的动态接触角模型

2.1 接触刚度 ki、ko

2.1.1 接触刚度求解方程

接触刚度反映了两物体在接触时抵抗变形的能力，滚珠丝杠副接触刚度的研究是滚珠丝杠副动态接触角计 算的基础。由于滚珠与滚道之间为点接触，由文献可知，接触刚度为

2.1.2 接触点主曲率函数分析

由 Hertz 点接触理论可知，要求得载荷与变形量之间的关系，必须先求得接触物体在接触点的主曲率值。滚珠或滚道表面在滚珠丝杠副径向平面和轴向平面内的曲率称之为主曲率，滚珠丝杠副中滚珠与滚道表面的主曲率描述了滚珠与滚道表面在接触点的几何特征，它影响到滚珠丝杠副的接触应力及变形。滚珠丝杠副在工作时，滚珠与螺母、丝杠的接触情况如图 3a 所示。

滚珠与丝杠滚道面接触点处的 4 个主曲率分别为

式中 ρ11、ρ12、ρ21和 ρ22为滚珠与滚道接触点处的主曲率。

图 3 滚珠丝杠副接触状态分析

联立式（13）－式（17）可求得接触刚度 ki 和 ko。经过以上分析可以看出，接触刚度 k 只与滚珠丝杠副的结构尺寸相关，与滚珠丝杠副运行的工况无关。